「ルート2のルート2のルート2のルート2の…」はいくつ？

こたえ１、工学的に
収束値をαとすると、α=sqrt(2α)が成り立つ。
そうすると、α=0or2か。
直感的に、αは漸増するはずなんだが。
bcコマンド(^^;)を使って試行すると2に収束していくなー
工学的には2を解としてもいいか。

こたえ２、数学的に
$A_n=(2A_{n-1})^{\frac{1}{2}}$
$=2^{\frac{1}{2}}{A_{n-1}}^{\frac{1}{2}}$
$=2^{\frac{1}{2}}{ (({2A_{n-2}})^{\frac{1}{2}}})^{\frac{1}{2}$
$=2^{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2})} {A_{n-2}}^{\frac{1}{2^2}}$
$=...$
$= 2^{ ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{2^{n-1}}) }{A_1}^{\frac{1}{2^{n-1}}}$

$S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}$ として、
$S_n-\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n+1}}$ を、
$\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n+1}}$ と整理して、
$S_n = 1 - \frac{1}{2^n}$ となる。